野中さん

ありがとうございます。根本的なミスということですね。
今回のアドバイスを元にスクリプトを以下のように変えてみました。
function内で「var」をつけた際にはローカル変数になると思うのですが、
trace(whereAmI);が値（In this MovieClip ）を返すのはなぜなのでしょうか？

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// MovieClip: アニメーション用
// フレームアクション
this.stop();
this.my_btn.onPress = function() {
var whereAmI = "In this MovieClip "; // テスト用変数設定
this.whereAmI = "In the Button instance";
trace(whereAmI); // テスト用2
trace(this.whereAmI); // テスト用3
_parent.play();
};

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