現在下記のように記述してドラッグを行っていますが
sp自体がドラッグされてしまいます。
対象物だけをドラッグするにはどうすれば良いのでしょうか
よろしくお願いいたします。

var sp:Sprite = new Sprite();
var loader:Loader = new Loader();
loader.load(new URLRequest("star.gif"));

sp.graphics.lineStyle(0);
sp.graphics.beginFill(0x000000);
sp.graphics.drawCircle(0,0,20);
sp.graphics.endFill();


addChild(sp);
sp.addChild(loader);

sp.addEventListener(MouseEvent.MOUSE_DOWN, startDragHandler);
sp.addEventListener(MouseEvent.MOUSE_UP, stopDragHandler);

function startDragHandler(event:MouseEvent):void {
var mySpr:Sprite = event.currentTarget as Sprite;
setChildIndex(mySpr, numChildren - 1);
mySpr.startDrag();
}

function stopDragHandler(event:MouseEvent):void {
var mySpr:Sprite = event.currentTarget as Sprite;
mySpr.stopDrag();
}

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まず、スクリプトにも説明が必要です。→【スクリプトを見てください】

また、「対象物」というのは、何を指すのでしょう？→【第三者から見てわからない】

いずれにしても、Sprite.startDrag()およびSprite.stopDrag()は、Spriteインスタンスをマウスポインタに追随させ、あるいはそれを停止するためのメソッドです。引用のスクリプトでは、Spriteインスタンスはspのみのようですから、それがドラッグされるのは当然の結果です。

もし、Loaderインスタンスを一緒にドラッグさせたくないという意味でしたら、Spriteインスタンスの子に加えなければ(DisplayObjectContainer.addChild()メソッドを呼ばないようにすると)よいと思います。

なお、使用環境はプロフィールに記載することをお勧めします。
引用：

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野中さんすいませんでした。

画像と円を作成してSprite上に表示したものを
それぞれドラッグして、動かせればと思ったのです。

画像と円を別々のspriteにすれば、それぞれドラッグ出来ますが
最終的には、clickなどで画像などを追加していき
それらを画面上で動かしたいと思っているのですが
画面に追加されたインスタンスに、名前を適当につけないと駄目なのでしょうか。

後、使用環境は プロフィールの編集画面に見当たらないのですが？
よろしくお願いいたします。

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Spriteにすると、具体的に何が問題なのかわかりかねます。しかし少なくとも、Sprite(あるいはそのサブクラス)のインスタンスでなければ、Sprite.startDrag()およびSprite.stopDrag()メソッドは使えません。

「名前」というのは、変数に参照を入れることですか？取りあえず、「外部imgを読み込みloaderクラスにドラッグイベントを追加したいです」は参考になるでしょうか？
引用：
あぁ、「プロフィールの編集」では「その他」という項目名になっていますね。
引用：

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野中様
有難う御座いました。
参考のサイトを元に複数の画像でも
個別にドラッグ出来るようになりました。
環境設定はその他だったんですね・・・

var sp:Sprite = new Sprite();
addChild(sp);

stage.addEventListener(MouseEvent.CLICK,loadImg);

var nX:Number = 0;
var nY:Number = 0;

var imgArray:Array = ["star.gif","1.gif"];
function loadImg(e:MouseEvent):void{
var img_loader:Loader = new Loader();
var _num:int = 0;
_num = Math.round(Math.random()*1);
var urlreq:URLRequest = new URLRequest(imgArray[_num]);
sp.addChild(img_loader);

img_loader.addEventListener(MouseEvent.MOUSE_DOWN,onDragStart);
img_loader.addEventListener(MouseEvent.MOUSE_UP,onDragStop);

img_loader.load(urlreq);
}

function onDragStart(e:MouseEvent):void {
e.currentTarget.
addEventListener(Event.ENTER_FRAME, xFollowMouse);
addEventListener(MouseEvent.MOUSE_OUT,reset);
nX = e.localX;
nY = e.localY;
}

function onDragStop(e:Event):void {
e.currentTarget.
removeEventListener(Event.ENTER_FRAME, xFollowMouse);
}

function xFollowMouse(eObject:Event):void {
var myObject:DisplayObject =
DisplayObject(eObject.currentTarget);
myObject.x += myObject.mouseX-nX;
myObject.y += myObject.mouseY-nY;
stage.removeEventListener(MouseEvent.CLICK,loadImg);
}

function reset(e:MouseEvent):void{
stage.addEventListener(MouseEvent.CLICK,loadImg);
}